ДА генератор может и не причем, просто при коротких поездках при включении всего что есть аккумулятору не хватает. Например, стандартный гена на 70 А, но на ХХ он выдает меньше, авто потребляет, габариты 6 А, стопари 4 А, если подогрев заднего стекла ещё Ампер 10-15, ну и на системы зажигания, бензонасоса и прочего ещё 30 Ампер, вот и сложите. Т.е. если зимой все сразу включить, то на ХХ аккумулятор почти не заряжается. Нормальный заряд идет только при оборотах от 1500 и выше! Это можно легко проверить.
Вам, на коротких поездках рекомендую например обогрев заднего стекла включать не сразу, а когда вы именно движетесь, т.е. на ХХ на прогреве обогрев заднего стекла, обогрев зеркал не включать.
Но лучше всего измерить токи, мощный амперметр в цепь аккумулятора, и проверить сколько и когда кушает, и идет ли нормальный заряд на аккум.
Потому как - 10 это не холод, это не - 30 или -40, и при такой температуре двиг должен всегда запускаться.
